문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 힐베르트 공간 (문단 편집) ==== 리즈 표현 정리 ==== 유한차원 [math(\mathbb{K})]-내적공간 [math(V)]에서의 선형범함수 [math(L:V\to\mathbb{K})]는 어떤 벡터 [math(w_0\in V)]에 대하여 [math(L(v)=\left)]로 유일하게 표현된다. 리즈 표현 정리는 힐베르트 공간에서도 이와 같은 성질이 일반화됨을 보인다. ||'''힐베르트 공간의 리즈 표현 정리'''(Riesz representation thm. on Hilbert space) ---- [math(\mathbb{K})]-힐베르트 공간 [math(H)]의 [[노름공간#operator norm|유계]] 선형범함수 [math(L:H\to\mathbb{K})]에 대하여 다음을 만족시키는 유일한 벡터 [math(x_0\in H)]가 존재한다. {{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;" [math(L(x)=\left\quad\forall x\in H)] }}}또한, [math(\|L\|=\|x_0\|)]가 성립한다. || ||'''증명''' [math(M=\ker L)]이라 하자. [math(L)]은 유계이므로 연속이고, 따라서 [math(M)]은 [math(H)]의 부분공간이다. [math(M=H)]인 경우 임의의 [math(x\in H)]에 대하여 [math(L(x)=0)]이므로 [math(L(x)=\left)]이다. [math(M\subsetneq H)]인 경우, [math(M^\perp)]는 영이 아닌 벡터 [math(y_0)]를 포함한다. [math(\alpha=L(y_0))]에 대하여 [math(\alpha^{-1}y_0\in M^{-1}, L(\alpha^{-1}y_0)=1)]이므로 [math(L(y_0)=1)]이라 가정할 수 있다. [math(x\in H)]에 대하여 [math(L(x-L(x)y_0)=L(x)-L(x)L(y_0)=0)]이므로 [math(x-L(x)y_0\in M)]이다. 따라서 [math(x_0=\|y_0\|^{-2}y_0)]라 하면 임의의 [math(x\in H)] 대하여 {{{#!wiki style="margin:1.5em 1.5em ;text-align: center;" [math(\begin{aligned} 0&=\left\\ &=\left-L(x)\|y_0\|^2 \end{aligned})] }}}에서 [math(L(x)=\left)]를 얻는다. [math(x_0^\prime)]이 [math(L(x)=\left)]을 만족시킨다 가정하면 임의의 [math(x\in H)]에 대하여 [math(\left=0)]이므로 [math(x_0-x_0^\prime\perp H)]이다. 따라서 [math(\left=0)]으로, [math(x_0=x_0^\prime)]이다. 코시-슈바르츠 부등식에 의해 [math(|L(x)|=|\left|\le\|x\|\|x_0\|)]이므로 [math(\|L\|\le \|x_0\|)]이고, [math(L(x_0/\|x_0\|)=\|x_0\|)]이므로 [math(\|L\|=\|x_0\|)]이다. ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기